BLOQUE 9-10: 2014

miércoles, 4 de junio de 2014

RESEÑAS HISTORICAS

ESTADÍSTICA

La estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir una información cuantitativa en interpretación de números con el fin de realizar una toma de decisiones, la estadística fue hallada por John Graunt en el antiguo Egipto desde la civilización han existido formas sencillas de estadística pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, hacia el año 3000 a.C los babilonios utilizaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y géneros vendidos. Los egipcios analizaban los datos de población y la renta del país antes de la construcción de las pirámides aproximadas al año 3000 a.C. los libros bíblicos de números y crónicas incluyen trabajos de la estadística, el primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En la población de china existían registros similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el año 594 a.C para la comprobación de los impuestos. El imperio romano fue el primero gobierno que recopilo cantidades de datos acerca de la población, superficie y la renta de todos los territorios que estaban bajo su control, en la edad media solo se realizaron censos en Europa. Durante el brote de peste que apareció a finales de la década 1500 el gobierno inglés comenzó a publicar estadísticas semanales de los descensos, la cuenta de mortalidad, los nacimientos y los fallecimientos por sexo. El campo de la estadística se refiere al cálculo de probabilidades en la rama de internismo o relatividad y fue conocida en la rama de la física.

PROBABILIDAD

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat » y Blaise Pascal »tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar.Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre

Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre » , del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie analytique des probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.

A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales

CONCEPTOS Y MODELOS DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

A) AGRUPADOS

ü Li es el límite inferior de la clase modal.

ü fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

ü fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.

ü fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ü ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

B) NO AGRUPADOS

Hi = Fi / Ai

MEDIANA

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N/2

· Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

· N/2 es la semisuma de las frecuencias absolutas.

· Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

· ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

MODA

En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.

a) AGRUPADOS

\frac{p}{c-p}=\frac{n_i-n_{i-1} }{n_i-n_{i+1} }

b) NO AGRUPADOS

\gamma n_{i-1} \gamma n_{i+1}

PROBLEMAS

MEDIA

NO AGRUPADOS

En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3

n = 6 (número total de datos)

AGRUPADOS

Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro con las medidas de 63 varas de pino lo ilustra.

Largo (en m)	Frecuencia absoluta	Largo por Frecuencia absoluta
5	10	5 . 10 = 50
6	15	6 . 15 = 90
7	20	7 . 20 = 140
8	12	8 . 12 = 96
9	6	9 . 6 = 54
	Frecuencia total = 63	430

MODA

NO AGRUPADOS

Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.

5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3

La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)

AGRUPADOS

20, 12, 14, 23, 78, 56, 96

En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda

MEDIANA

No agrupados

1.- Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2

Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10

El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares

AGRUPADOS

2.- El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los valores centrales.

21, 19, 18, 15, 13, 11, 10, 9, 5, 3

CONCEPTOS Y MODELOS MATEMÁTICOS DE MEDIDAS DE DISPERCIÓN

RANGO

Se define como la diferencia existente entre el valor mayor y el menor de la distribución,. Lo notaremos como R. Realmente no es una medida muy significativa e la mayoría de los casos, pero indudablemente es muy fácil de calcular.

R= Valor Máximo - Valor Mínimo

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

A) DATOS AGRUPADOS

La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) de lo que se apartan los datos de su media, y por tanto, se mide en las mismas unidades que la variable.

Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

Desviación estándar o Típica

Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:

S2= VARIANZA

EJEMPLOS

RANGO- agrupado

Los siguientes datos se refieren al diámetro en pulgadas de un engrane. calculese el rango

LI LS	Frecuencia	Marca de clase	Límite real inferior	Límite real superior	Frecuencia relativa	Frecuencia Relativa acumulada
5.97 – 6.18	2	6.075	5.965	6.185	2/40 = 0.05	0.05
6.19 – 6.40	5	6.295	6.185	6.405	5/40=0.125	0.175
6.41 – 6.62	7	6.515	6.405	6.625
6.63 – 6.84	13	6.735	6.625	6.845	0.325	0.675
6.85 – 7.06	7	6.955	6.845	7.065	0.175
7.07 – 7.28	6	7.175	7.065	7.285	0.15
Total	40

1. R= VM - Vm = 7.25 – 6.00 = 1.25

RANGO - No agrupado

Calcular el rango de los siguientes datos que son las edades de niños del colegio margarita Rosa.

4, 5, 8, 6, 10, 11, 8, 6, 4, 3, 2, 5, 4,

PRIMER PASO: ORDENAR DE MENOR A MAYOR

2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 10, 11

RESOLVER

RANNGO: DATO MAYOR - DATO MENOR

11 - 2 = 9

PRINCIPIOS Y CRITERIOS DE PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA

Regla de Adición

Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos simples. Las uniones, intersecciones y complementos de eventos son de interés frecuente. La probabilidad de un evento compuesto a menudo pueden obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocasiones, las operaciones básicas de los conjuntos también son útiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.

De esta manera para A y B eventos del espacio muestral S, entonces:

Demostración:

Se conoce que

por otro lado se tiene que

Entonces

Regla de Multiplicación

De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar $P(A\cap B):$

Las relaciones $\left( 1\right)$ y $\left( 2\right)$ son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:

Calcular probabilidades de intersecciones de eventos

con base en probabilidades condicionales.

Esta regla de manera general se puede expresar como:

Sea

eventos tales que

. Entonces

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que un evento

ocurra cuando se sabe que ya ocurrio un evento

se llama probabilidad condicional y se denota por

que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una función de probabilidad,

definida como

		$\QTR{cal}{A}$	$\rightarrow$	$\left[ 0,1\right]$
			$\mapsto$

¿ Es

una función de probabilidad?

es una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas

Axioma I

para todo evento

Como

entonces dividiendo por $P\left( A\right)$ se tiene los términos de la desigualdad se tiene

Axioma II

Como

Axioma III

es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, entonces

Como

como los eventos

son mutuamente excluyentes, entonces los eventos

son también mutuamente excluyentes y así

PROBLEMAS

A) ADICIÓN

1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.

Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?

Solución:

B) MULTIPLICACIÓN

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene

items de los cuales

son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento $A_{1}\cap A_{2}$ que es la intersección entre los eventos $A_{1}$ y $A_{2}$ . De la información dada se tiene que:

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

C) CONDICIONAL

1. La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad

, una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad

solo la interferencia pura. Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal con probabilidad $P_{1}$ , cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad $P_{2}$ . Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.

Solución:

Sean U: el evento la señal es útil con interferencia superpuesta

I : el evento la señal es útil con interferencia pura

S: el evento que indica ocurre una señal

Con base en el diagrama , la probabilidad se puede calcular así: