BLOQUE 9-10: PRINCIPIOS Y CRITERIOS DE PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA

Regla de Adición

Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos simples. Las uniones, intersecciones y complementos de eventos son de interés frecuente. La probabilidad de un evento compuesto a menudo pueden obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocasiones, las operaciones básicas de los conjuntos también son útiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.

De esta manera para A y B eventos del espacio muestral S, entonces:

Demostración:

Se conoce que

por otro lado se tiene que

Entonces

Regla de Multiplicación

De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar $P(A\cap B):$

Las relaciones $\left( 1\right)$ y $\left( 2\right)$ son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:

Calcular probabilidades de intersecciones de eventos

con base en probabilidades condicionales.

Esta regla de manera general se puede expresar como:

Sea

eventos tales que

. Entonces

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que un evento

ocurra cuando se sabe que ya ocurrio un evento

se llama probabilidad condicional y se denota por

que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una función de probabilidad,

definida como

		$\QTR{cal}{A}$	$\rightarrow$	$\left[ 0,1\right]$
			$\mapsto$

¿ Es

una función de probabilidad?

es una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas

Axioma I

para todo evento

Como

entonces dividiendo por $P\left( A\right)$ se tiene los términos de la desigualdad se tiene

Axioma II

Como

Axioma III

es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, entonces

Como

como los eventos

son mutuamente excluyentes, entonces los eventos

son también mutuamente excluyentes y así

PROBLEMAS

A) ADICIÓN

1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.

Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?

Solución:

B) MULTIPLICACIÓN

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene

items de los cuales

son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento $A_{1}\cap A_{2}$ que es la intersección entre los eventos $A_{1}$ y $A_{2}$ . De la información dada se tiene que:

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

C) CONDICIONAL

1. La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad

, una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad

solo la interferencia pura. Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal con probabilidad $P_{1}$ , cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad $P_{2}$ . Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.